Sabías que puedes componer un Vals con dos dados?

De todos es conocido que Mozart fue un gran músico y compositor, pero lo que muchos no saben es que también era un buen matemático y en el estudio de sus obras se han encontrado relaciones con el número Pi, las homotecias y la combinatoria.

El ejemplo más claro de esta relación lo encontramos en su obra Musikalisches Würfelspiel (juego de dados musical en alemán), esta obra consiste en un generador de valses de 16 compases que utiliza el azar para su composición. La obra está formada por 176 compases que Mozart agrupó en 16 conjuntos de 11 compases cada uno. Para componer un vals se realizan 16 tiradas de los dos dados, anotando en cada tirada la suma de los números obtenidos. Para cada suma buscamos en la columna correspondiente al compás en el que nos encontramos la fila correspondiente al número y escribimos el compás en nuestro pentagrama.

Fuente: http://www.lettermodel.org/wordpress/?p=1644

El número de valses distintos que se pueden generar con este juego es de 11^16=45949729863572160. Este número es tan grande que se estima que si se interpretan con un orden sistemático todas las partituras posibles de manera continuada de día y de noche, y cada interpretación durara 30 segundos, se tardaría más de 43000 millones de años en interpretarlas todas. Para hacerse una idea de la magnitud de dicho número, la edad de la tierra es de 4470 millones de años, lo que quiere decir que tardaríamos en reproducirlas todas más de 9 veces la edad de la tierra. 

Por tanto, es posible que cuando escuches un vals generado de manera aleatoria con este juego seas la única persona en el mundo que lo haya escuchado jamás.

Si tocamos un vals generado de manera aleatoria, no todos los valses tienen la misma probabilidad de ser tocados puesto que no todas las sumas tienen la misma probabilidad de salir. La probabilidad de cada número se calcula de la siguiente forma:

Y para el resto de números:

Por tanto el vals generado por (7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7) tendrá más probabilidades de ser tocado que el generado por (2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2), pero, ¿cómo calculamos esas probabilidades?

Si queréis componer un vals, en esta página podéis descargar un generador de valses o, si preferís hacerlo online, aquí tenéis una modificación en la que después del minueto se le añade un trío obtenido de manera similar pero lanzando un solo dado.

Entrada redactada por Marina Agulló.